a.

\(R=d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|3-5.\left(-2\right)+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-5\right)^2}}=\dfrac{14}{\sqrt{26}}\)

b.

\(d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|4sina+4\left(2-sina\right)\right|}{\sqrt{cos^2a+sin^2a}}=8\)

Ta có: \(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

Vậy ta chọn đáp án B

a) Theo đề bài ta có: \(d' \subset \left( P \right),d' \subset \left( Q \right)\) nên \(d'\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Lại có: \(d \subset \left( P \right),d \subset \left( Q \right)\) nên \(d\) cũng là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Theo tính chất thừa nhận 5: hai mặt phẳng phân biệt có một đường thẳng chung duy nhất. Vậy hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) trùng nhau.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in a\\a \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( P \right)\\\left. \begin{array}{l}M \in b\\b \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( Q \right)\end{array}\)

Do đó điểm \(M\) nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Vậy \(M \in c\).

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Ta có: 

A. \(\alpha< \beta\)

\(\Rightarrow\left(0,3\right)^{\alpha}>\left(0,3\right)^{\beta}\)

Sai 

B. \(\alpha< \beta\)

\(\Rightarrow\pi^{\alpha}< \pi^{\beta}\)

Sai

C. \(\alpha< \beta\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{2}\right)^{\alpha}< \left(\sqrt{2}\right)^{\beta}\)

Đúng

D. \(\alpha< \beta\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\alpha}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\beta}\)

Sai 

⇒ Chọn C

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

e) Sai

a) Đúng, vì nếu gọi m là đường thẳng vuông góc với β và n là đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song α, γ thì góc (m, n) = (β, α) = (β, γ), mà β ⊥ α nên β ⊥ γ.

b) Sai, vì hai mặt phẳng (β), (γ) cùng vuông góc với mp(α) có thể song song hoặc cắt nhau.

a) \(sin6\alpha cot3\alpha cos6\alpha=2.sin3\alpha.cos3\alpha\dfrac{cos3\alpha}{sin3\alpha}-cos6\alpha\)
\(=2cos^23\alpha-\left(2cos^23\alpha-1\right)=1\) (Không phụ thuộc vào x).

b) \(\left[tan\left(90^o-\alpha\right)-cot\left(90^o+\alpha\right)\right]^2\)\(-\left[cot\left(180^o+\alpha\right)+cot\left(270^o+\alpha\right)\right]^2\)
\(=\left[cot\alpha+cot\left(90^o-\alpha\right)\right]^2\)\(-\left[cot\alpha+cot\left(90^o+\alpha\right)\right]^2\)
\(=\left[cot\alpha+tan\alpha\right]^2-\left[cot\alpha-tan\alpha\right]^2\)
\(=4tan\alpha cot\alpha=4\). (Không phụ thuộc vào \(\alpha\)).

c) \(\left(tan\alpha-tan\beta\right)cot\left(\alpha-\beta\right)-tan\alpha tan\beta\)
\(=\left(\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}-\dfrac{sin\beta}{cos\beta}\right).\dfrac{cos\left(\alpha-\beta\right)}{sin\left(\alpha-\beta\right)}-tan\alpha tan\beta\)
\(=\left(\dfrac{sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}\right).\dfrac{cos\left(\alpha-\beta\right)}{sin\left(\alpha-\beta\right)}\)\(-\dfrac{sin\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}\)
\(=\dfrac{sin\left(\alpha-\beta\right)}{cos\alpha cos\beta}.\dfrac{cos\left(\alpha-\beta\right)}{sin\left(\alpha-\beta\right)}-\dfrac{sin\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}\)
\(=\dfrac{cos\left(\alpha-\beta\right)}{cos\alpha cos\beta}-\dfrac{sin\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}\)
\(=\dfrac{cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta-sin\alpha sin\beta}{cos\alpha cos\beta}=\dfrac{cos\alpha cos\beta}{cos\alpha cos\beta}=1\).

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}d \subset \left( {AMNC} \right)\\d\parallel \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AMNC} \right) = AC\end{array} \right\} \Rightarrow d\parallel AC \Rightarrow MN\parallel AC\)

Mà \(a\parallel NC \Rightarrow MA\parallel NC\)

\( \Rightarrow AMNC\) là hình bình hành.

b) Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng chứa \(b\) và song song với \(a\), \(c = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}NC\parallel a\\N \in b\end{array} \right\} \Rightarrow NC \subset \left( \beta  \right)\)

\( \Rightarrow C \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) \Rightarrow C \in c\)

Vậy điểm \(C\) luôn luôn chạy trên đường thẳng \(c\) là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cố định.

c) Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), kẻ \(AH \bot c\)

Vì \(c\) cố định nên \(AC \ge AH\)

\(AMNC\) là hình bình hành \( \Rightarrow MN = AC\)

Vậy \(MN \ge AH\)

Vậy \(MN\) nhỏ nhất khi \(C \equiv H\). Khi đó \(d\parallel AH\).